SOFWARE PARA ANÁLISIS MATEMÁTICO
El proyecto Descartes es una experiencia del CNICE, antes PNTIC (Programa de Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación) del MEC que nace en 1998, basado en una aplicación de José Luis Abreu, el autor de los programas Calcula y Cónicas, llamada Descartes y que permite generar materiales interactivos de carácter visual y dinámico, compatible con el lenguaje HTML, y por tanto utilizables en Internet, utilizando applet de JAVA.
Descartes introduce como novedad la facilidad para la confección de las escenas, a modo de pizarras electrónicas interactivas y dinámicas, y su inclusión en páginas web, de forma que una unidad didáctica será una o más páginas html, con todas las facilidades de creación y modificación que permiten los programas editores que hay en el mercado para confeccionar páginas de este tipo.
Existen en Internet numerosos applets, algunos son interactivos, es decir que permiten al usuario modificar algún parámetro y observar el efecto que se produce en la pantalla, pero lo que caracteriza a Descartes es que, además, es configurable, es decir, que los usuarios (profesores) pueden programarlo para que aparezcan diferentes elementos y distintos tipos de interacción. No hay que olvidar, también, su finalidad educativa. En particular, el applet Descartes tiene una programación muy matemática para que a los profesores de esta materia les resulte fácil su aprendizaje y utilización.
Básicamente, Descartes es un sistema de referencia cartesiano interactivo, en el que se pueden configurar y emplear todos los elementos habituales: Origen, ejes, cuadrantes, cuadrícula, puntos, coordenadas, vectores, etc. Permite representar curvas y gráficas dadas por sus ecuaciones, tanto en forma explícita como implícita; en particular permite representar las gráficas de todas las funciones que habitualmente se utilizan en la enseñanza secundaria, tanto en coordenadas cartesianas como en paramétricas o polares. Los elementos que interviene en la definición de las expresiones y ecuaciones pueden ser parámetros modificables por el usuario, lo que hace que las gráficas que se muestran cambien al modificar esos parámetros.
Dispone también de una poderosa herramienta de cálculo que permite evaluar cualquier expresión matemática y escribir el resultado en la escena. Como ocurre en las representaciones gráficas, los elementos que interviene en los cálculos pueden ser parámetros modificables por el usuario, lo que hace que los resultados que se muestran cambien al modificar esos parámetros.
También se pueden representar los elementos geométricos elementales, tanto en el plano como en el espacio: puntos, segmentos, arcos, etc., lo que permite hacer numerosas representaciones geométricas. Como en los casos anteriores, estos elementos pueden depender de parámetros, de forma que la representación cambia cuando el usuario los modifica.
En estos últimos años un numeroso equipo de profesores ha realizado cientos de aplicaciones y desarrollado un buen número de unidades didácticas que recorren la práctica totalidad del currículo de la ESO y Bachillerato.
Estas aplicaciones están disponibles en el servidor de Internet del CNICE (Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa). En este servidor se pueden encontrar los siguientes apartados:
• Unidades Didácticas: acceso a la relación de Unidades Didácticas desarrolladas en el PNTIC con el nippe Descartes que están clasificadas por niveles y cursos; aunque también ofrece un buscador que permite acceder a las páginas por su contenido, lo que facilita la localización de unidades que tratan un determinado tema.
• Aplicaciones: esta es la zona destinada a las aplicaciones desarrolladas por los profesores que quieran publicar sus trabajos. Hay que resaltar la calidad de los trabajos realizados por los alumnos de los cursos, ya que no se han limitado a hacer el ejercicio final que se les pedía, como aplicación de programación del applet Descartes, sino que, en muchos, casos han realizado Unidades Didácticas muy completas y con una presentación excelente.
• Experiencias: se recogen, en esta zona, las experiencias llevadas a cabo por los profesores en el aula, con sus alumnos.
• Buscador: Permite localizar en Descartes las aplicaciones relacionadas con un tema dado.
• Descarga: Se dan instrucciones para descargar las Unidades Didácticas y las Aplicaciones en el ordenador local, de forma que puedan utilizarse todas las Unidades Didácticas y las Aplicaciones sin necesidad de estar conectados a la red.
• Formación: Se accede a las páginas del curso de autoformación, que consta de cinco prácticas y el desarrollo de una aplicación.
Valoración didáctica
El Proyecto Descartes es una herramienta de primer orden para visualizar conceptos y procedimientos y técnicas matemáticas, de una forma dinámica y activa. Descartes es de hecho un libro electrónico interactivo que abarca todo el currículo de la ESO y los bachilleratos. Es especialmente interesante para los temas de geometría y de análisis, aunque también existen unidades y aplicaciones de álgebra, aritmética, probabilidad y estadística.
Hasta ahora muchos profesores han rechazado esta herramienta por pensar que se necesitaba estar conectado a Internet para poder utilizarla con los alumnos. Está claro que se puede utilizar así, on-line, pero no es necesario estar conectado. El profesor y los alumnos pueden descargar a los ordenadores locales o a disquetes, aplicaciones, unidades didácticas enteras y experiencias, modificarlas y trabajar con sus alumnos sin necesidad de estar conectado a Internet. Para poder trabajar de este modo basta con descargar el motor de Descartes y los ficheros comunes y guardarlos en el disco duro del ordenador.
Las ventajas del proyecto se resumen en los siguientes aspectos:
• Es controlable por el profesor en un tiempo razonable
• Es fácil de usar para los alumnos, que no tienen que emplear demasiado tiempo en su aprendizaje
• Ofrece todos los contenidos del currículo correspondiente al curso donde se vaya a usar.
• Favorece metodologías activas y de aprendizaje por descubrimiento.
• Potencia un aprendizaje cooperativo, el trabajo en equipo es esencial
• Sirva para la atención a la diversidad, permitiendo que los materiales sean flexibles para poder modificarlos tanto cuanto se quiera.
Contenidos
Unidades didácticas
Más de 140 unidades didácticas correspondientes a:
• Primer ciclo de la ESO
• 3º de ESO
• 4º de ESO (Opción A)
• 4º de ESO (Opción B)
• Taller de Matemáticas
• 1º de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico
• 2º de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico
• 1º de Bachillerato de HH. y CC. SS.
• 2º de Bachillerato de HH. y CC. SS.
• Otros niveles
En cada curso podemos encontrar entre 10 y 20 unidades didácticas desarrolladas completamente, con applets animados, introducción teórica y ejercicios de aplicación.
Unidad: Complejos. 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y la Salud
Unidad Funciones. 4º de ESO
Aplicaciones:
Incluye un catálogo de todas las aplicaciones (más de 160) seleccionadas por bloques temáticos: álgebra, geometría, análisis, estadística; nivel educativo y autor.
Experiencias:
En este apartado se incluyen las más de 50 experiencias de aula realizadas por profesores y alumnos.
Aplicación de alumnos de 1º de Bachillerato
Metodología
Las aplicaciones de Descartes se pueden utilizar de varias maneras. Se pueden utilizar tanto con la clase completa en el aula de informática trabajando todos los alumnos en equipos de dos, con la misma aplicación o con aplicaciones distintas o bien en el aula ordinaria como pizarra electrónica con un portátil de uso individual para el profesor o un alumno
Para el alumno. La forma más sencilla de usar Descartes es utilizar las páginas donde se hayan insertado las escenas. Es la que utilizarán generalmente los alumnos, o las personas que se acerquen por primera vez a esta aplicación. No se requiere tener ningún conocimiento previo. Bastará con las indicaciones que se hagan en la propia página en la que se habrán señalado las actividades que se deben realizar.
Para el profesor. En este caso se necesita tener experiencia con algún editor de páginas web, puede ser un procesador de textos que permita editar este tipo de páginas. El profesor puede editar las páginas que le interesen y modificar la propuesta de actividades, quitando, corrigiendo o añadiendo actividades; esto no requiere más conocimientos que saber usar un procesador de textos. Si además ha practicado con las herramientas de configuración del nippe puede efectuar con facilidad pequeños cambios: colores, poner o quitar ecuaciones, puntos, segmentos, etc.
Las escenas interactivas que permiten a los alumnos:
Investigar propiedades
• adquirir y relacionar conceptos
• aventurar hipótesis y comprobar su validez
• hacer deducciones
• establecer propiedades y teoremas
• plantear y resolver problemas
Alguien puede pensar que material tan amplio y con un potencial didáctico tan grande debe ocupar mucho espacio y que las descargas se pueden eternizar. No es el caso. El motor que permite visualizar los applets y los archivos comunes con todos los índices no ocupa más de 200 K y una unidad didáctica completa está alrededor de los 30 K. Es decir en un simple disquete podemos incorporar unas cuantas unidades y aplicaciones. Los tiempos de descarga no llegan al minuto.
Wiris
Requisitos del ordenador del usuario: Ordenador con navegador que admita Java 1.1 o superior (por ejemplo Netscape Navigator 4, Internet Explorer 4 o versiones superiores).
Se trata de una aplicación multiplataforma on line (Windows, Linux, Mac, ...)
Aplicación desarrollada por Maths for More dentro del programa Innova de la UPC.
Es de acceso libre y gratuito.
Es una plataforma de cálculo matemático que funciona exclusivamente on line a través de cualquier navegador de Internet utilizando un applet de JAVA. Varias CC.AA. la tienen incorporada en sus servidores educativos, entre ellas la CAM, en su servidor www.educamadrid.org
El motor matemático reside en el servidor y no en el ordenador del usuario. Las peticiones de cálculo se realizan vía el protocolo HTTP-POST y CGI. Esto consiste en ejecutar un programa que se comunica con la componente del motor Java y solicita cálculos y espera los resultados, que a la vez vuelve al cliente.
Los usuarios acceden al mismo mediante una interfaz que sirve para leer, presentar y editar documentos y materiales ya existentes, para entrar directamente las expresiones que se quieren calcular, para mostrar los resultados de los cálculos, y para guardar un documento, en formato estándar, para ser usado posteriormente. Incorpora un lenguaje matemático próximo al utilizado en clase de matemáticas.
Wiris permite abordar todos los bloques de la ESO y del bachillerato: el cálculo, el análisis, la geometría, el álgebra, la combinatoria, etc. También incluye el tratamiento de unidades de medida, y representación gráfica de calidad e interactiva.
Contenidos y herramientas:
Aritmética:
Operaciones con números enteros, racionales, radicales, decimales, reales (incluyendo constantes como p y e ) y complejos.
Funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primos y factorización) con enteros. Funciones trascendentes de variable real (trigonométricas, exponenciales y logarítmicas).
Sucesiones de números: progresiones aritméticas y geométricas. Series.
Combinatoria:
Cálculo del número de permutaciones, variaciones y combinaciones.
Listas y conjuntos. Unión, intersección y complementario de listas y conjuntos.
Factorial y números binomiales.
Generación de subconjuntos combinatorios.
Álgebra:
Operaciones con polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, decimales y complejos) o simbólicos (parámetros); funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primalidad y factorización). Fracciones algebraicas.
Búsqueda de raíces de polinomios: raíces enteras, racionales, radicales, decimales y complejas. Solución de sistemas algebraicos (también con parámetros).
• Resolución de sistemas generales de ecuaciones (no necesariamente lineales). Resolución numérica de sistemas de ecuaciones.
• Resolución de sistemas de inecuaciones en una variable.
• Simplificación de expresiones matemáticas generales.
SOFTWARE PARA ANÁLISIS MATEMÁTICO
Álgebra lineal:
Álgebra de vectores y matrices. Coeficientes numéricos y simbólicos.
Producto escalar y vectorial.
Rango, determinante y traza.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con notación matricial (también con parámetros). Sistemas lineales dependientes de parámetros.
Álgebra lineal con vectores y matrices con coeficientes simbólicos (expresiones matemáticas formadas por composición de funciones elementales).
Análisis
Representación determinando dominio, asíntotas, máximos, mínimos, puntos singulares, puntos de inflexión, simetrías, etc.
Dominio de funciones. Intervalos de monotonía. Asíntotas. Extremos absolutos y relativos. Puntos de inflexión.
Límite de funciones.
Derivación simbólica. Polinomios de Taylor.
Cálculo simbólico de primitivas. Primitivas dependientes de parámetros. Integrales definidas.
Geometría en el plano
Creación de figuras geométricas: puntos, vectores, segmentos, rectas, circunferencias, arcos, cónicas, triángulos, poligonales, curvas.
Representación de figuras geométricas del plano.
Propiedades del tablero: medida, color, zoom, ejes, etc.
Exportación a los formatos Portable Document Format de Adobe (pdf) y PostScript.
Operaciones con figuras geométricas: intersección, transformación afín, distancia,...
Conversión automática de ecuaciones a objetos geométricos.
Conversiones entre las diferentes ecuaciones de la recta: explícita, implícita, punto pendiente,
Hasta ahora muchos profesores han rechazado esta herramienta por pensar que se necesitaba estar conectado a Internet para poder utilizarla con los alumnos. Está claro que se puede utilizar así, on-line, pero no es necesario estar conectado. El profesor y los alumnos pueden descargar a los ordenadores locales o a disquetes, aplicaciones, unidades didácticas enteras y experiencias, modificarlas y trabajar con sus alumnos sin necesidad de estar conectado a Internet. Para poder trabajar de este modo basta con descargar el motor de Descartes y los ficheros comunes y guardarlos en el disco duro del ordenador.
Las ventajas del proyecto se resumen en los siguientes aspectos:
• Es controlable por el profesor en un tiempo razonable
• Es fácil de usar para los alumnos, que no tienen que emplear demasiado tiempo en su aprendizaje
• Ofrece todos los contenidos del currículo correspondiente al curso donde se vaya a usar.
• Favorece metodologías activas y de aprendizaje por descubrimiento.
• Potencia un aprendizaje cooperativo, el trabajo en equipo es esencial
• Sirva para la atención a la diversidad, permitiendo que los materiales sean flexibles para poder modificarlos tanto cuanto se quiera.
Contenidos
Unidades didácticas
Más de 140 unidades didácticas correspondientes a:
• Primer ciclo de la ESO
• 3º de ESO
• 4º de ESO (Opción A)
• 4º de ESO (Opción B)
• Taller de Matemáticas
• 1º de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico
• 2º de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico
• 1º de Bachillerato de HH. y CC. SS.
• 2º de Bachillerato de HH. y CC. SS.
• Otros niveles
En cada curso podemos encontrar entre 10 y 20 unidades didácticas desarrolladas completamente, con applets animados, introducción teórica y ejercicios de aplicación.
Unidad: Complejos. 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y la Salud
Unidad Funciones. 4º de ESO
Aplicaciones:
Incluye un catálogo de todas las aplicaciones (más de 160) seleccionadas por bloques temáticos: álgebra, geometría, análisis, estadística; nivel educativo y autor.
Experiencias:
En este apartado se incluyen las más de 50 experiencias de aula realizadas por profesores y alumnos.
Aplicación de alumnos de 1º de Bachillerato
Metodología
Las aplicaciones de Descartes se pueden utilizar de varias maneras. Se pueden utilizar tanto con la clase completa en el aula de informática trabajando todos los alumnos en equipos de dos, con la misma aplicación o con aplicaciones distintas o bien en el aula ordinaria como pizarra electrónica con un portátil de uso individual para el profesor o un alumno
Para el alumno. La forma más sencilla de usar Descartes es utilizar las páginas donde se hayan insertado las escenas. Es la que utilizarán generalmente los alumnos, o las personas que se acerquen por primera vez a esta aplicación. No se requiere tener ningún conocimiento previo. Bastará con las indicaciones que se hagan en la propia página en la que se habrán señalado las actividades que se deben realizar.
Para el profesor. En este caso se necesita tener experiencia con algún editor de páginas web, puede ser un procesador de textos que permita editar este tipo de páginas. El profesor puede editar las páginas que le interesen y modificar la propuesta de actividades, quitando, corrigiendo o añadiendo actividades; esto no requiere más conocimientos que saber usar un procesador de textos. Si además ha practicado con las herramientas de configuración del nippe puede efectuar con facilidad pequeños cambios: colores, poner o quitar ecuaciones, puntos, segmentos, etc.
Las escenas interactivas que permiten a los alumnos:
Investigar propiedades
• adquirir y relacionar conceptos
• aventurar hipótesis y comprobar su validez
• hacer deducciones
• establecer propiedades y teoremas
• plantear y resolver problemas
Alguien puede pensar que material tan amplio y con un potencial didáctico tan grande debe ocupar mucho espacio y que las descargas se pueden eternizar. No es el caso. El motor que permite visualizar los applets y los archivos comunes con todos los índices no ocupa más de 200 K y una unidad didáctica completa está alrededor de los 30 K. Es decir en un simple disquete podemos incorporar unas cuantas unidades y aplicaciones. Los tiempos de descarga no llegan al minuto.
Wiris
Requisitos del ordenador del usuario: Ordenador con navegador que admita Java 1.1 o superior (por ejemplo Netscape Navigator 4, Internet Explorer 4 o versiones superiores).
Se trata de una aplicación multiplataforma on line (Windows, Linux, Mac, ...)
Aplicación desarrollada por Maths for More dentro del programa Innova de la UPC.
Es de acceso libre y gratuito.
Es una plataforma de cálculo matemático que funciona exclusivamente on line a través de cualquier navegador de Internet utilizando un applet de JAVA. Varias CC.AA. la tienen incorporada en sus servidores educativos, entre ellas la CAM, en su servidor www.educamadrid.org
El motor matemático reside en el servidor y no en el ordenador del usuario. Las peticiones de cálculo se realizan vía el protocolo HTTP-POST y CGI. Esto consiste en ejecutar un programa que se comunica con la componente del motor Java y solicita cálculos y espera los resultados, que a la vez vuelve al cliente.
Los usuarios acceden al mismo mediante una interfaz que sirve para leer, presentar y editar documentos y materiales ya existentes, para entrar directamente las expresiones que se quieren calcular, para mostrar los resultados de los cálculos, y para guardar un documento, en formato estándar, para ser usado posteriormente. Incorpora un lenguaje matemático próximo al utilizado en clase de matemáticas.
Wiris permite abordar todos los bloques de la ESO y del bachillerato: el cálculo, el análisis, la geometría, el álgebra, la combinatoria, etc. También incluye el tratamiento de unidades de medida, y representación gráfica de calidad e interactiva.
Contenidos y herramientas:
Aritmética:
Operaciones con números enteros, racionales, radicales, decimales, reales (incluyendo constantes como p y e ) y complejos.
Funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primos y factorización) con enteros. Funciones trascendentes de variable real (trigonométricas, exponenciales y logarítmicas).
Sucesiones de números: progresiones aritméticas y geométricas. Series.
Combinatoria:
Cálculo del número de permutaciones, variaciones y combinaciones.
Listas y conjuntos. Unión, intersección y complementario de listas y conjuntos.
Factorial y números binomiales.
Generación de subconjuntos combinatorios.
Álgebra:
Operaciones con polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, decimales y complejos) o simbólicos (parámetros); funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primalidad y factorización). Fracciones algebraicas.
Búsqueda de raíces de polinomios: raíces enteras, racionales, radicales, decimales y complejas. Solución de sistemas algebraicos (también con parámetros).
• Resolución de sistemas generales de ecuaciones (no necesariamente lineales). Resolución numérica de sistemas de ecuaciones.
• Resolución de sistemas de inecuaciones en una variable.
• Simplificación de expresiones matemáticas generales.
SOFTWARE PARA ANÁLISIS MATEMÁTICO
Álgebra lineal:
Álgebra de vectores y matrices. Coeficientes numéricos y simbólicos.
Producto escalar y vectorial.
Rango, determinante y traza.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con notación matricial (también con parámetros). Sistemas lineales dependientes de parámetros.
Álgebra lineal con vectores y matrices con coeficientes simbólicos (expresiones matemáticas formadas por composición de funciones elementales).
Análisis
Representación determinando dominio, asíntotas, máximos, mínimos, puntos singulares, puntos de inflexión, simetrías, etc.
Dominio de funciones. Intervalos de monotonía. Asíntotas. Extremos absolutos y relativos. Puntos de inflexión.
Límite de funciones.
Derivación simbólica. Polinomios de Taylor.
Cálculo simbólico de primitivas. Primitivas dependientes de parámetros. Integrales definidas.
Geometría en el plano
Creación de figuras geométricas: puntos, vectores, segmentos, rectas, circunferencias, arcos, cónicas, triángulos, poligonales, curvas.
Representación de figuras geométricas del plano.
Propiedades del tablero: medida, color, zoom, ejes, etc.
Exportación a los formatos Portable Document Format de Adobe (pdf) y PostScript.
Operaciones con figuras geométricas: intersección, transformación afín, distancia,...
Conversión automática de ecuaciones a objetos geométricos.
Conversiones entre las diferentes ecuaciones de la recta: explícita, implícita, punto pendiente,
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